Народився 10 лютого 1941 року в м. Дубровиця Рівненської області.
Закінчив історичний факультет (1968) та аспірантуру Київського державного університету ім. Т.Г. Шевченка (1971).
У 1971-1977 роках працював старшим викладачем, доцентом Тернопільського фінансово-економічного інституту. З 1977 року в Тернопільському педагогічному інституті (нині — Тернопільський національний педагогічний університет ім. В. Гнатюка): завідуючий кафедрою, проректор з навчальної роботи (1977-1993); завідуючий кафедрою нової і новітньої історії та методики викладання історії, декан історичного факультету (1993-2006); з 2006 року завідуючий кафедрою нової і новітньої історії та методики викладання історії.
Очолює Асоціацію істориків Тернопільщини, секцію історії МАН, член спеціалізованої вченої ради із захисту докторських і кандидатських дисертацій у Чернівецькому національному університеті ім. Ю. Федьковича.
Підготував 18 кандидатів історичних наук, 5 переможців Всеукраїнської олімпіади студентів з історії, близько 20 лауреатів Всеукраїнських і Міжнародних конкурсів, стипендіатів Президента та Кабміну України.
З ініціативи М.М. Алексієвця на історичному факультеті відкрито нові спеціалізації й кафедри, запроваджено в навчальний процес новітні інформаційно-комп'ютерні технології та сучасну навчально-матеріальну базу, налагоджено наукові зв'язки з визнаними в світі університетськими центрами.
Головний редактор «Наукових записок» ТНПУ ім. В. Гнатюка (серія «Історія»).
Автор понад 300 наукових і науково-методичних праць з вітчизняної та всесвітньої історії.
Доктор історичних наук (1987). Професор (1989). Відмінник народної освіти УРСР (1978). Заслужений працівник освіти України (2000). Член Всеукраїнської спілки краєзнавців (2001). Нагороджений медаллю «Ветеран праці». 1999 року Міжнародний біографічний центр у м. Кембрідж (Велика Британія) присвоїв М.М. Алексієвцю звання «Міжнародна людина тисячоліття в номінації «2000 видатних науковців XX століття».